Как да се получи Integral обем от А Hypersphere

Just кръг е множеството от всички точки в двуизмерна равнина на равни разстояния от една централна точка и сфера е множеството от всички точки в три измерения на еднакво разстояние от една централна точка , по математика съществуват аналогични структури , наречени hyperspheres , в тримерни пространства, по-голяма от три, които са множеството от всички точки на равно разстояние от една централна точка . Следователно , само като на неразделна обем на сфера, в три измерения могат да бъдат извлечени с смятане , така че може интегралните обемите на тези по-високи триизмерни фигури. Инструкции

1

Определяне координатната система, която ще бъде използвана в проблема . Въпреки, че може да се направи всяка координатна система, за да работи , вариация на сферични полярни координати работи най-добре . Като пример , в п - тримерно пространство , се определят като R разстоянието до точката на центъра , като тета ъгъла на азимута и phi1 , phi2 ... Фи ( п - 2 ) като ъглови координати , вариращи от 0 до пи радиани .

2

Напишете основния обем неразделна над цялата hypersphere . Това ще е интеграл от 0 до някои радиус R за R , и с течение на съвкупността от възможните ъгли за всяка ъглова координата , 0 до 2pi за тета и от 0 до пи за останалите променливи. Многобройните интегралите са взети от една цяла елемента обем .


3

Сменете елемента обем със съответните срокове , изчислени от Jacobian определящ фактор . Например , за hypersphere в четири измерения , тя ще бъде: .

R ^ 3 грях ^ 2 ( phi1 ) грях ( phi2 ) д-р dphi1 dphi2 dtheta

За повече помощ изчисляване на Jacobian вижте линка, съответстващ на ресурсите.

4

Напишете окончателен отговор , след като всяка интегрална последователно. В нашия пример на четири - измерна hypersphere окончателен отговор е: .

(Пи ^ 2 /2) * радиус ^ 4